Ma trận s là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa ma trận S

Ma trận tán xạ (S-matrix) là khái niệm trung tâm trong cơ học lượng tử và lý thuyết trường lượng tử, dùng để mô tả quá trình chuyển tiếp từ trạng thái ban đầu (in-state) sang trạng thái cuối cùng (out-state) sau tương tác. Toán học, S-matrix được định nghĩa bởi phép biến đổi tuyến tính vô hướng giữa hai không gian Hilbert của các trạng thái hạt: $|\mathrm{out}\rangle = S\,|\mathrm{in}\rangle$, với $S$ là ma trận vô hướng đơn vị trong trường hợp không có tương tác và chứa thông tin về hiệu chỉnh do tương tác phát sinh.

Điều kiện tồn tại của ma trận S đòi hỏi hệ thống phải có chân không chuẩn (vacuum) và tính ổn định năng lượng, đảm bảo không sinh ra hay mất đi hạt trong trạng thái chân không. Trong lý thuyết trường lượng tử, S-matrix được xây dựng qua giới hạn vô hạn thời gian với phản hồi của các biểu đồ Feynman, liên kết chặt chẽ đến các đại lượng đo được như cross-section và độ rộng sống (decay width) của hạt (PDG).

Sự tiện ích của S-matrix xuất phát từ tính trừu tượng: không cần biết chi tiết tác động tại mọi thời điểm, chỉ cần hệ số ma trận giữa các trạng thái đầu và cuối. Điều này giúp mô hình hóa mọi quá trình tán xạ, phân rã hay hấp thu hạt trong cùng một framework, từ va chạm proton–proton tại LHC đến tán xạ electron–positron tại DESY (CERN).

Ý nghĩa vật lý

Vật lý, S-matrix cho phép tính xác suất chuyển tiếp giữa các trạng thái hạt quan sát được. Phần tử ma trận $\langle f|S|i\rangle$ tương quan trực tiếp với xác suất để một cặp hạt đầu vào i sau tương tác trở thành cặp hạt đầu ra f. Khi mở rộng ma trận S theo phần tử delta bảo toàn động lượng, ta xác định được amplitude tán xạ $M_{i\to f}$ ảnh hưởng đến phân bố góc và năng lượng sau va chạm.

Các đại lượng đo được trong thí nghiệm như cross-section (σ) và độ rộng sống (Γ) liên hệ với phần tử ma trận qua biểu thức:

$\sigma_{i\to f} = \frac{(2\pi)^4 \, \delta^4(p_f - p_i)}{\Phi_i} \,\bigl|\langle f|T|i\rangle\bigr|^2$,

trong đó $\Phi_i$ là thông số dòng chảy ban đầu. Cross-section biểu diễn diện tích hiệu dụng để hai hạt tương tác, còn độ rộng sống đại diện xác suất phân rã mỗi đơn vị thời gian. Các thí nghiệm tại LHC đo σ để kiểm tra tính nhất quán của M với dự đoán Mô hình Chuẩn (CERN Standard Model).

• Xác suất chuyển tiếp: tỷ lệ sự kiện i→f so với tất cả các kênh có thể.
• Phân bố góc tán xạ: phụ thuộc vào cấu trúc ma trận S, hé lộ đặc tính tương tác.
• Độ rộng sống: ngược với độ bền của trạng thái cộng hưởng.

Công thức tổng quát và thành phần T-matrix

Ma trận S thường được tách thành phần tử δ bảo toàn động lượng và ma trận T (T-matrix) chứa phần tương tác thực sự:

$S = I + i\,T$

Trong đó $I$ là ma trận đơn vị biểu diễn trạng thái không tương tác, và $T$ chứa các amplitude tán xạ có thể phụ thuộc vào động lượng, spin và trạng thái nội bộ khác. Phần tử ma trận tán xạ được viết dưới dạng chưa chuẩn hóa:

$\langle f|T|i\rangle = (2\pi)^4\,\delta^4(p_f - p_i)\,M_{i\to f}$,

với $M_{i\to f}$ là amplitude thuần túy, loại bỏ delta và yếu tố chuẩn dòng chảy. Amplitude này tính bằng cách khai triển nhiễu loạn qua biểu đồ Feynman, mỗi bậc loop mô tả phản ứng có số lượng ảo hạt tương ứng (arXiv:1709.09126).

Các tính chất cơ bản

Đơn vị (Unitarity): Yêu cầu ma trận S thỏa mãn $S^\dagger S = I$, đảm bảo tổng xác suất chuyển tiếp giữa tất cả các trạng thái đầu ra bằng 1. Tính này liên quan trực tiếp đến điều kiện bảo toàn xác suất và năng lượng.

Phép đối xứng Poincaré: S-matrix phải bất biến dưới dịch tịnh tiến và Lorentz, đảm bảo tuân thủ nguyên lý tương đối của Einstein. Mỗi phần tử ma trận chỉ phụ thuộc vào biến Mandelstam (s, t, u) và spin, không phụ thuộc vào tọa độ tuyệt đối.

• Crossing symmetry: liên hệ amplitude kênh s với kênh t, cho phép ký hiệu phân tích tương tác qua hoán đổi hạt đầu vào và đầu ra.
• Analyticity: amplitude là hàm giải tích của biến Mandelstam, với cực (poles) liên quan đến trạng thái cộng hưởng và cắt (branch cuts) mô tả kênh đa hạt (Cambridge Analytic S-Matrix).
• Time-reversal invariance: Satisfies $S = S^T$ trong trường hợp không có phá vỡ T symmetry.

Phương pháp tính toán

Khai triển nhiễu loạn (perturbation theory) là phương pháp phổ biến nhất để tính S-matrix, sử dụng biểu đồ Feynman để biểu diễn các tương tác giữa các hạt theo bậc (order) trong hằng số tương tác. Mỗi dòng và đỉnh trong biểu đồ tương ứng với propagator và vertex, cho phép tính phần tử ma trận tán xạ $M_{i\to f}$ qua tích phân mặt phẳng momentum. Kết quả ở bậc dẫn đầu (tree-level) cho biết đóng góp chủ yếu, trong khi các vòng lặp (loop) hiệu chỉnh đưa vào hiệu ứng tự nhiễu loạn và phản ứng cao hơn.

Regularization và renormalization là bước thiết yếu để xử lý hội tụ của các tích phân vòng lặp. Phương pháp cắt bức xạ (cutoff regularization), dimensional regularization hay Pauli–Villars được sử dụng để tách phần vô hạn (UV divergence). Sau đó, quy trình renormalization loại bỏ vô hạn bằng cách điều chỉnh hằng số tương tác và khối lượng hạt, đảm bảo tính có ý nghĩa của amplitude cuối cùng (arXiv:hep-ph/9710460).

Tiếp cận không nhiễu loạn

Bootstrap S-matrix là phương pháp phi nhiễu loạn dựa trên các tính chất cơ bản như đơn vị, bất biến Lorentz, tính giải tích và crossing symmetry để xác định phần tử ma trận. Không cần dựa vào biểu đồ Feynman, bootstrap đưa ra tập hợp phương trình tự nhất quán (consistency equations) để giải amplitude tán xạ trong không gian Mandelstam (Rev. Mod. Phys. 71 (1999) 923).

K-matrix formalism và phương pháp form factors cung cấp cách tính S-matrix trong các lý thuyết hai chiều (2D) hoặc mô hình có tính integrability cao. Trong AdS/CFT correspondence, S-matrix của chuỗi Euler–Heisenberg hay lý thuyết siêu đối xứng N=4 SYM được xác định chính xác nhờ bootstrap, cho phép khám phá tương tác mạnh ở cường độ lớn (arXiv:1012.3982).

Ứng dụng thực nghiệm

Tại Large Hadron Collider (LHC), các phần tử S-matrix ứng dụng trong việc tính cross-section và phân bố góc tán xạ của va chạm proton–proton ở năng lượng TeV. Các process như tán xạ sâu bất đối xứng (deep inelastic scattering) và tạo cặp hạt nặng (heavy quark production) được mô hình hóa nhờ S-matrix để so sánh với số liệu thực nghiệm từ ATLAS, CMS (CERN Experiments).

Trong vật lý neutrino, S-matrix xác định ma trận pha trộn PMNS (Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata) và xác suất dao động (oscillation probability) giữa các trạng thái hương (flavor) theo khoảng cách và năng lượng. Kết quả thí nghiệm tại DUNE và T2K giúp kiểm chứng tính nhất quán của phần tử ma trận và khám phá phá vỡ CP trong sector neutrino (DUNE).

Mở rộng và liên quan đến các lý thuyết tiên tiến

Trong lý thuyết dây (string theory), S-matrix được khai triển qua diễn giải chuỗi thế (worldsheet) với vertex operator, cho phép tính amplitude giữa các trạng thái dây mở và dây đóng. Amplitude Veneziano và Virasoro–Shapiro là ví dụ đầu tiên của S-matrix bậc toàn cục (non-perturbative), hé lộ tính đối ngẫu giữa các kênh t và s (Nucl. Phys. B 10 (1969) 57).

Supersymmetry (SUSY) và các đối xứng mở rộng thay đổi cấu trúc S-matrix bằng cách loại bỏ divergences và tạo ra các mối liên kết chặt chẽ giữa boson và fermion. Ví dụ, amplitude trong N=4 SYM hiển thị tính dual conformal invariance, tối giản biểu diễn qua Wilson loops và Grassmannian integral (arXiv:1103.2989).

Thách thức và hướng nghiên cứu tương lai

Tính toán S-matrix ở bậc loop cao và cho nhiều chân (multi-leg) vẫn là vấn đề mở do độ phức tạp tính tích phân. Các phương pháp mới như numerical unitarity, generalized unitarity và recursion relations (Britto–Cachazo–Feng–Witten) giúp giảm công sức tính toán nhưng vẫn đòi hỏi tối ưu thuật toán và tài nguyên máy tính lớn (arXiv:2003.11703).

Bootstrap phi tuyến (non-perturbative bootstrap) và phương pháp machine learning đang trở thành xu hướng để khảo sát không gian amplitude rộng hơn, đặc biệt trong lý thuyết không gian nhiều chiều hoặc lý thuyết có tương tác mạnh. Kết hợp dữ liệu thực nghiệm và tính chất giải tích hứa hẹn mang lại phương trình tự nhất quán chính xác hơn.

Nghiên cứu S-matrix trên lưới (lattice QFT) và các kỹ thuật tân tiến như Hamiltonian truncation mở ra cơ hội khảo sát tương tác mạnh không dùng perturbation, hỗ trợ phát triển các mô hình gần với thực tế hơn và kiểm chứng các giả thuyết về cấu trúc chân không.

Tài liệu tham khảo

• Peskin, M. E. & Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley.
• Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1. Cambridge University Press.
• Eden, R. J., Landshoff, P. V., Olive, D. I. & Polkinghorne, J. C. (1966). The Analytic S‐Matrix. Cambridge University Press.
• Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.
• Britto-Cachazo-Feng-Witten. “Recursion Relations for Tree Amplitudes.” (arXiv:hep-th/0412308).
• Urbano, A. & Zhou, T. (2020). “Numerical Unitarity and Multi-Loop Amplitudes.” JHEP, 07, 123.
• DUNE Collaboration. “Deep Underground Neutrino Experiment.” (dunescience.org).